摘要：自然數(shù)包括 　　答案：自然數(shù)包括正整數(shù)和零。 　　自然數(shù)包括正整數(shù)和零，自然數(shù)是用以計(jì)量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù)。即用數(shù)碼0，1，2，3，4，……所表示的數(shù)，表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)叫自然數(shù)，自然數(shù)由0開(kāi)始，一個(gè)接一個(gè)，組成一個(gè)無(wú)窮的團(tuán)體，自然數(shù)有有序性，無(wú)限性，分為偶數(shù)和奇數(shù)，合數(shù)和質(zhì)數(shù)等。 　　自然...

自然數(shù)包括

　　答案：自然數(shù)包括正整數(shù)和零。

　　自然數(shù)包括正整數(shù)和零，自然數(shù)是用以計(jì)量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù)。即用數(shù)碼0，1，2，3，4，……所表示的數(shù)，表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)叫自然數(shù)，自然數(shù)由0開(kāi)始，一個(gè)接一個(gè)，組成一個(gè)無(wú)窮的團(tuán)體，自然數(shù)有有序性，無(wú)限性，分為偶數(shù)和奇數(shù)，合數(shù)和質(zhì)數(shù)等。

　　自然數(shù)由0開(kāi)始，一個(gè)接一個(gè)，組成一個(gè)無(wú)窮的團(tuán)體。自然數(shù)有有序性，無(wú)限性。分為偶數(shù)和奇數(shù)，合數(shù)和質(zhì)數(shù)等。

　　表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)0、1、2、3、4、5、6、……叫自然數(shù)。

　　從歷史上看，國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)界對(duì)于0是不是自然數(shù)歷來(lái)有兩種觀點(diǎn)：一種認(rèn)為0是自然數(shù)，另一種認(rèn)為0不是自然數(shù)。建國(guó)以來(lái)，我國(guó)的中小學(xué)教材一向規(guī)定自然數(shù)不包括0。目前，國(guó)外的數(shù)學(xué)界大部分都規(guī)定0是自然數(shù)。為了方便于國(guó)際交流，1993年頒布的《中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)》（GB 3100-3102-93）《量和單位》（11-2.9）第311頁(yè)，規(guī)定自然數(shù)包括0。所以在近幾年進(jìn)行的中小學(xué)數(shù)學(xué)教材修訂中，教材研究編寫(xiě)人員根據(jù)上述國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了修改。即一個(gè)物體也沒(méi)有，用0表示。0也是自然數(shù)。

　　自然數(shù)集N是指滿(mǎn)足以下條件的集合：

　　①N中有一個(gè)元素，記作1。

　　②N中每一個(gè)元素都能在 N 中找到一個(gè)元素作為它的后繼者。

　　③1是0的后繼者。④0不是任何元素的后繼者。

　　⑤不一樣元素有不一樣的后繼者。

　　⑥（歸納公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后繼者也在M中，那么M=N。

　　自然數(shù)的分類(lèi)：

　　1、按是否是偶數(shù)分，可分為奇數(shù)和偶數(shù)。奇數(shù)：不能被2整除的數(shù)叫奇數(shù)；偶數(shù)：能被2整除的數(shù)叫偶數(shù)，也就是說(shuō)，除了奇數(shù)，就是偶數(shù)

　　注：0是偶數(shù)。(2002年國(guó)際數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)規(guī)定，零為偶數(shù)，我國(guó)2004年也規(guī)定零為偶數(shù)，偶數(shù)能夠被2整除，0照樣能夠，只可是得數(shù)依然是0而已)。

　　2、按因數(shù)個(gè)數(shù)分，可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)、1和0。質(zhì)數(shù)：僅有1和它本身這兩個(gè)因數(shù)的自然數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也稱(chēng)作素?cái)?shù)；合數(shù)：除了1和它本身還有其它的因數(shù)的自然數(shù)叫做合數(shù)；1：僅有1個(gè)因數(shù)；它既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，當(dāng)然0不能計(jì)算因數(shù)，和1一樣，也不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。

　　注：那里是因數(shù)不是約數(shù)。

　　自然數(shù)的性質(zhì)

　　1.對(duì)自然數(shù)能夠定義加法和乘法。其中，加法運(yùn)算“+”定義為：

　　a + 0 = a;

　　a + S(x) = S(a +x)， 其中，S(x)表示x的后繼者。

　　如果我們將S(0)定義為符號(hào)“1”，那么b + 1 = b + S(0) = S( b + 0 ) = S(b)，即，“+1”運(yùn)算可求得任意自然數(shù)的后繼者。

　　同理，乘法運(yùn)算“×”定義為：

　　a × 0 = 0;

　　a × S(b) = a × b + a

　　自然數(shù)的減法和除法能夠由類(lèi)似加法和乘法的逆的方式定義。

　　2.有序性。自然數(shù)的有序性是指，自然數(shù)能夠從0開(kāi)始，不重復(fù)也不遺漏地排成一個(gè)數(shù)列：0，1，2，3，…這個(gè)數(shù)列叫自然數(shù)列。一個(gè)集合的元素如果能與自然數(shù)列或者自然數(shù)列的一部分建立一一對(duì)應(yīng)，我們就說(shuō)這個(gè)集合是可數(shù)的'，否則就說(shuō)它是不可數(shù)的。

　　3.無(wú)限性。自然數(shù)集是一個(gè)無(wú)窮集合，自然數(shù)列能夠無(wú)止境地寫(xiě)下去。

　　對(duì)于無(wú)限集合來(lái)說(shuō)“，元素個(gè)數(shù)”的概念已經(jīng)不適用，用數(shù)個(gè)數(shù)的方法比較集合元素的多少只適用于有限集合。為了比較兩個(gè)無(wú)限集合的元素的多少，集合論的創(chuàng)立者德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾引入了一一對(duì)應(yīng)的方法。這一方法對(duì)于有限集合顯然是適用的，21世紀(jì)把它推廣到無(wú)限集合，即如果兩個(gè)無(wú)限集合的元素之間能建立一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，我們就認(rèn)為這兩個(gè)集合的元素是同樣多的。對(duì)于無(wú)限集合，我們不再說(shuō)它們的元素個(gè)數(shù)相同，而說(shuō)這兩個(gè)集合的基數(shù)相同，或者說(shuō)，這兩個(gè)集合等勢(shì)。與有限集比較，無(wú)限集有一些特殊的性質(zhì)，其一是它能夠與自我的真子集建立一一對(duì)應(yīng)，例如:

　　0 1 2 3 4 …

　　1 3 5 7 9 …

　　這就是說(shuō)，這兩個(gè)集合有同樣多的元素，或者說(shuō)，它們是等勢(shì)的。大數(shù)學(xué)家希爾伯特曾用一個(gè)趣味的例子來(lái)說(shuō)明自然數(shù)的'無(wú)限性：如果一個(gè)旅館僅有有限個(gè)房間，當(dāng)它的房間都住滿(mǎn)了時(shí)，再來(lái)一個(gè)旅客，經(jīng)理就無(wú)法讓他入住了。但如果這個(gè)旅館有無(wú)數(shù)個(gè)房間，也都住滿(mǎn)了，經(jīng)理卻仍能夠安排這位旅客：他把1號(hào)房間的旅客換到2號(hào)房間，把2號(hào)房間的旅客換到3號(hào)房間，……如此繼續(xù)下去，就把1號(hào)房間騰出來(lái)了。

　　4.傳遞性：設(shè) n1，n2，n3 都是自然數(shù)，若 n1>n2，n2>n3，那么 n1>n3。

　　5.三岐性：對(duì)于任意兩個(gè)自然數(shù)n1，n2，有且僅有下列三種關(guān)系之一：n1>n2，n1=n2或n1

　　6.最小數(shù)原理：自然數(shù)集合的任一非空子集中必有最小的數(shù)。具備性質(zhì)3、4的數(shù)集稱(chēng)為線(xiàn)性序集。容易看出，有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集都是線(xiàn)性序集。可是這兩個(gè)數(shù)集都不具備性質(zhì)5，例如所有形如nm(m>n，m，n 都是自然數(shù))的數(shù)組成的集合是有理數(shù)集的非空子集，這個(gè)集合就沒(méi)有最小數(shù);開(kāi)區(qū)間(0，1)是實(shí)數(shù)集合的非空子集，它也沒(méi)有最小數(shù)。

　　具備性質(zhì)5的集合稱(chēng)為良序集，自然數(shù)集合就是一種良序集。容易看出，加入0之后的自然數(shù)集仍然具備上述性質(zhì)3、4、5，就是說(shuō)，仍然是線(xiàn)性序集和良序集。

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